Définition

\(\triangleright\) Définition de la capacité thermique

La capacité thermique permet de décrire la variation énergétique d'un corps en fonction de la variation de température.
De manière générale:
$$C={{\frac{Q}{\Delta T} }}$$

Types de capacité thermique

\(\triangleright\) Capacité thermique isochore

On définit la capacité thermique isochore comme:
$$C_V={{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V}}=\frac{\partial Q_V}{dT}$$
Avec:

• \(Q_V\): Transfert thermique reçu à volume constant
• \(U\): Energie interne

\(\triangleright\) Capacité thermique isobare:

On définit la capacité thermique isobare comme:
$$C_P={{\left (\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P}}=\frac{\partial Q_p}{dT}$$

• \(H\): l'Enthalpie
• \(Q_p\): Transfert thermique reçu à pression constante

\(\triangleright\) Capacité thermique massique

Dans le cas d'un corps homogène, on écrit la relation:
$$c_m={{\frac{Q}{m\Delta T} }}$$
Avec:

• \(c_m\): la capacité thermique massique
• \(Q\): le Transfert thermique
• \(m\): la masse
• \(\Delta T\): la variation de température

Relations

\(\triangleright\) Relation entre les capacités thermiques pour un gaz parfait

Pour un gaz parfait, il existe la relation appelé formule de Mayer:
$${{C_P-C_V}}={{nR}}$$
Généralisé grâce aux Relations de Clapeyron:
$${{ C_P-C_V=TV\frac{\alpha^2}{\chi_T}}}$$
Avec:

• \(\alpha\) et \(\chi\) : Coefficients thermoélastiques
• \(T\): la température du système
• \(V\): le volume du système

START
Exo-Démo+
On montre la relation générale entre \(C_p\) et \(C_v\)
\(\delta Q_p=C_p dT=dH= dU_p+PdV_p\)
1i: Définition de \(Q_p\)
2: \(dU=\left(\frac{\delta U}{\delta T}\right)_VdT+\left(\frac{\delta U}{\delta V}\right)_PdV\)
2i: Fonction d'état de l'énergie interne
3:\(dV=\left(\frac{\delta V}{\delta T}\right)_PdT+\left(\frac{\delta V}{\delta P}\right)_T dP\)
3i: Ecriture différentielle de \(V\)
4:\(dU_P=C_vdT+\left(\frac{\delta U}{\delta V}\right)_T\left(\frac{\delta V}{\delta T}\right)_PdT\)
5:\(dV_P=\left(\frac{\delta V}{\delta T}\right)_PdT\)
6:\(C_P-C_V=\left(P+\left(\frac{\delta U}{\delta V}\right)_T\right)\left(\frac{\delta V}{\delta T}\right)_P\)
7:Relations de Clapeyron 8:\(\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right).\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right).\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)=-1\)
\(\left(\frac{\delta P}{\delta T}\right)=\frac{\alpha}{\chi_T}\)
9:\(C_p-C_v=TV\frac{\alpha^2}{\chi_T}\)
END
Coefficient de compressibilité

Remarques

\(\triangleright\) Capacités pour un gaz parfait monoatomique

• \(c_v={{\frac 32 R}}\)
• \(c_p={{\frac 52 R}}\)

\(\triangleright\) Capacités pour un gaz parfait diatomique

• \(c_v={{\frac 52 R}}\)
• \(c_p={{\frac 72 R}}\)